Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

406 OEUVRES DE CHARLES IIERIITE.
de sorte que les deux facteursf( —x) et F(x) soient encore des
fonctions de seconde espece a multiplicateurs reciproques. Nous
aurons d'abord
-IF(X) Ir F(-x ) =,u'f(x) /'(-x) F ( x) F(-X),
et, en employant l'egalite, qu'il est facile d'etablir,
J'f(x)/f (- x) =-k/2(sn2 — sn2 o),
on parvient a celte relation
1F(x) 'I (-X) = (- )+ k2 (sn2X — sn2 ) )(x),
dont on va voir l'importance. Formons a cet effet l'expression de
W(x) qtii s'obtiendra sous (orme lineaire au moyen des derivees
successives de k2sn2x, puisque cette fonclion, commne celles qi
ont ete precedemment introduites, a pour seul pole x = iK'. Nnus
deduirons pour cela un developpement, suivant les puissances
croissantes de s, de l'equation
~(iK' + > =- f(iK'- s) F(iK'+ -)
= ( — H0-H- H.s —..) (Hi-. -2 - )
developpement que je representerai par la formule
e W(iK' s ) = -- + -ao + -- +...- - - -..,
en posant
o- =- Ho, xi =H Hi,...
et nous observcrons immediatement que cette serie ne contient
point le terme -'. On a effeclivement, pour n/ = aY,
a,_1 = 112v-1 -- hi H2-3 h 2H2 V-+. + /Iv- I -+- i h,/
puis, en supposant n - 2v - i,
a-1 -=- (H. v-2 + /hi H2V-4- h2 H2v-G- +..-+- hy- Ho).
Or on voit que, d'apres les equations obtenues pour la determination de o et ), au paragraphe XLV, le coefficient a,,_, est nul
dans les deux cas. La partie principale du developpement de