Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. o05
et distinguons, dans la serie des reduites, celle dont le denominateur est du degre v, dans les deux cas de n= 2v et'n = - - i.
Si on la represente par 0(t, le developpenent, suivant les puissances decroissantes de t, de la diff6rence
n'(t.)
1(t)?(t) — (t),
commencera ainsi par un terme en t et, en posant
n'(t) q(t) —n(t) 0(t)= q(t),
on voit que, dans le premier cas, ~(t) sera un polynome de degre
v - i, et, dans le second, de degre v - 2. Cela etant, je considere
l'expression suivante,
N CP2(t)- R(t) q2(t);
on trouve d'abord aisement, en employant la relation proposee et
la valeur de (t), qu'elle devient
nI(t) [- C2(t) II,(t) + 2 qp(t)O(t) R(t) II'(t)- 02(t) R(t) lI(t)],
et contient, par consequent, en facleur, le polynome 11(t). On
verifie ensuite qu'elle est de degre n +- i en t, dans les deux cas
de n = 2 et n 2V - i; nous pouvons ainsi poser
N -2(t) - R( (t) = n(t) (gt - g'),
et nous allons voir que to est donne par la formule
sn2 = gt,
ou le second membre est une fonction rationnelle de h.
L.
Considerons dans ce but une nouvelle fonction doublement
periodique definie de la maniere suivante,
TI(x) = -'f(- x) F(),
en faisant toujours
f(X)- e'(x —ilCi) X(X),