Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

gnons-la pour un instant par A, on voit que le changement de
xen x donne A; on a donc
A = - i,
et, par consequent,
F(-x)= -- F(x).
Remplacons ensuite x par x + 2K et x -- 2iK': le quotient se
reproduit multiplie par A2 et t12; ainsi il faut poser.2 _ i, 2 =
c'est-a-dire = -~ i, I'= ~
La condition N o determine done les valeurs de h, pour
lesquelles l'equation de Lame est verifiee par des fonctions doublement periodiques. Ce sont ces solutions, auxquelles est attache
ajamais le nom du grand geometre, et dont les proprietes lui ont
permis de traiter pour la premiere fois le probleme dilficile de la
determination des temperatures d'un ellipsoYde, lorsque l'on donne
en chaque point la temperature de la surface. Elles s'offrent en ce
moment comme un cas singulier de 1'equation differentielle, oi
l'integrale cesse d'etre representee par la formule
y = C F(x)- C'F ( —x)
et subit un changement de forme analytique. Je me borne a les
signaler sous ce point de vue, devant bientot y revenir, et je
reprends, pour en tirer une nouvelle consequence, l'equation
i '2 (X) = N + -(x) ( (x).
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Introduisons sn2x pour variable, en posant sn2x - t; on voit
que Q>(x) et Q>4(x), ne contenant que des derivees d'ordre pair de
sn2x, deviendront des polynomes entiers en t des degres n et
n 4-1, que je designerai par n1(t) et I1 (t). Soit encore
R(t) = t(i — t) (i- /k2t);
la relation consideree prend cette forme
R(t) n'2(t)= N + 1(t) nI (t);
et voici la remarque, importante pour notre objet, a laquelle elle
donne lieu.
Developpons la fonction rationnelle H((t) en fraction continue,
11(t)