Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS EI.LIPTIQUES. 403
J'envisage enfin le determinant fonctionnel forme avec les solutions F(x) et F(-.) de l'equation de Lame, et je pose
(.2-) = (- )-+1 i'[F(x) F'(- x) + F'(x) F(- x)].
La relation suivante, qui s'obtient aisement, et dont le second
memnbre ne contient que des termes ertiers en e, a savoir,a2(iK'+ -) = 9(SS —.S'Si1)= 2(2n + r)C +...
donne, comme on le voit, la proposition l)ien connue que cette
fonction est constante; nous allons en olbenir la valeur.n la mettant sous la forme
(2n + I)- = i,
qle nous garderons desormais.
XLIX.
J'observe, a cet effet, que de l'identite
(SS'- SIS )2 = (SS' - SS')2 -F (S2 SI) (S'- S',2)
on conclut immediatement, entre les fonctions dont il vient d'etre
question, la relation suivante:
4,'(iK'+ s) = — 2 I(K/+~)+ (( K'i s) (i IK' + ),
4 2
et, par consequent,
I,2 (.) =N + 4- (.x) 1 (x).
4
Elle fait voir qu'en attribuant a la variable une valeur particnliere, en supposant, par exemple, x = o, N s'obtient comme un
polynome entier en hi du degre 2/? -- I, puisque cette quantite
entre, comme on l'a vu, au degre in dans ((x) et au degre nt I
dans (), (x). Ce point etabli, nous remarquons que, en posant la
condition N o, le determinant fonctionnel (ID2(x) est nul, de
F(x()
sorte que le quotient. x) se reduit alors a une constante. Desis e e- x )