Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

40i

et ne depend point de la constante C, entrant dans le second terme,
que nous ne connaissons pas encore. Faisons donc
_Al A2 An-,
S2- __ A+ 24 + 4
k z =, -- -4 s 2- — 2 4- s ~- ---- -+-... —;
les coefficients A,, A2,... seront
AI = ahi,
A,= 2h2+ h,
A3 = 2 h3 — 2h h2,................
et l'on en conclut que, hi etant un polynome de degr i en h, il
en est de meme, en general, pour un coefficient de rang quelconque Ai. Maintenant l'expression cherchee decoule de laformule
de decomposition en elements simples, qui a ete donnee au paragraphe II. Nous obtenons ainsi
D2 -1 D2/-3 () D2/-5 [() ]
")Cx 1 ) D ("-') bX (l
(Xx) Al A2
_ r(.) r(2n — 2 ) r(2n- 4)
_ A,_,D- [D'(x |
-- A t-iD, [ -()- +const.
La relation elemeniaire
O'(x) J
DXI - (-) sn2x
donnera ensuite, sous une autre forme, en designant par A une
nouvelle constante,
D, -2 (2sn2x SD2) D2/"-/(k2 sn2.x) D2 —6 (k2 sn2x)
+(X) = 4- A IA ~ +A2
r(2n) r(.2n —2) r(2n —4)
- An-i (k2 sn2x) -- A.
Pour la determiner, nous emploierons, en outre de la partie lrincipale de la serie S2, le terme independant de e, qui sera designe
par A,. En deduisant ce meme terme de l'expression de 4)(x), et
se rappelant qu'on a fait
I 2 I2..
H. - $2 - So — Si 2. 6.si2i —.,
S112 a P2

H. - IlI.

26