Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

XLVIII.
La methode generale que je vais exposer maintenant pour la
determination des constantes o et ) repose principalement sur la
consideration du prodiit des solutions de l'equation de Lame, qui
viennent d'etre representees par F(x) et F(- x). Et, d'abord, on
remarquera que, ayant
F(x+-2 K)-= F(x),
F(x + 2iK') = ' F(^)
et, par suite,
F(- x-2 K)= _ F(- x),
F(- x - 2iK'),F( x),
ce produit est une fonction doublement periodique de premiere
espece, qui a pour p6le unique x = iK'. Voici, en consequence,
comment s'obtient son expression sous forme entierement explicite.
Soit
4(x) = (- i)n' F(x) F(- x),
le facteur.' ayant ete introduit pour pouvoir ecrire
4(iK'+ s) = (- i)'2 ' F(iK'+ s) F(- iK'- s)
=-( —) F(/(iK'- +~)F( iK' — ).
Cela etant et posant, pour abreger,
I h h2
S - - 1- - + 2 +,t-T+- /-2 ' - ' ' —k '
S= C(s+l — +~ h'l tn+3 4-+ h sn+5 +..
nous aurons
F(iK'-i- ) = S -- S1,
F(iK'- s) =(-I)(S -S),
d'oi, par consequent,
b(iK'+ s) = S2- SI.
On voit ainsi que la partie principale de developpement suivant
les puissances croissantes de ~ est donnee par le premier terme S2,