Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 395
seule et unique determination. Et si l'on considere ces quantites
comme des coordonnees, en se placant au point de vue de la
Geometrie, on verra aisement que les courbes representees par
nos deux equations n'ont aucun point d'intersection independant
de la constante h qui entre sous forme rationnelle et entiere dans
les coefficients. II n'est done pas possible d'employer les meothodes
si simples de Clebsch et de Chasles qui permettent de reconnaitre,
a priori et sans calcul, que les points d'un lieu geometrique se
determinent individuellement en fonction d'un parametre. Le cas
de n = 3, qui sera traite tout a l'heure, fera voir en effet que les
intersections des deux courbes se trouvent, a l'exception d'une
seule, rejetees a l'infini. Mais, avant d'y arriver, je ferai encore
cette remarque, qu'on peut joindre aux equations deja obtenues
une infinite d'autres, dont voici l'origine.
Nous avons vu au paragraphe XLIV que l'equation de Lame
donne, en faisant x iK'-Is, ces deux developpements, a
savoir:
i hi h2
y n -+ -2 + n-4 - +- '
y = snt+1 +h '1 s+L3 h' sA+5 -4-.A..
1 en resulte que, si l'on pose de menme x -= iK' +- s dans la solution representee par F(x), nous aurons, en designant par C une
constante dont on obtiendra bientot la valeur,
h i h 2
F (iK'- ) =. - -+ -, — -- +".
/, ~ / 1/-2 ~ /1-4
4-C ( sit1 + h' s ~3 -i- h' '+i +-..
On peut done identifier ce developpement avec celui que donnent
l'une ou l'autre des deux formules
2~ -3f( x
F(x))= D- f(x) hi DXf) -
F(2v) F(2v -2)
DV-2 f(x) D2V-4f(X)
A -hi --...- -1
1r(2v-I) Ir(2v- 3)
lorsqu'on pose x-z iK'+-. Bornons-nous, pour abreger, au cas
de n = 2 v et representons la partie qui procede, suivant les puissances positives de s, par
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