Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 393
satisferont, suivant les cas de n - 2V et tn = 2v-I, a l'equation diff6rentielle en determinant convenablement les constantes
t et ).
Pour le demontrer, je remarque que, si l'on pose x = iK' + E,
les parties principales de leurs developpements proviendront du
seul terme - qui entre dans f(iK' + E), et seront, par consequent,
I hi /Zv-1
--- -* --- — -4-... -. —
F2V 4- +2V -2 -
et
I hti h,-I
p 2V-1. 2V-h3
Disposons maintenant de o et X, de telle sorte que dans le premier cas le terme constant soit egal a hv et le coefficient de e, dans
le suivant, egal a zero; nous poserons pour cela les conditions
H2V-i- +hi 12V-3 + h2 H2v-s-.. hv-_ H1 -i h = o,
2 VH2v- (2V - 2)hlH2V-24- (2v - 4)h2H2v-+... 2hv-l H2 = 0
Et semblablement, dans le second cas, faisons en sorte que le terme
constant soit nul et le coefficient de s egal a h/, en crivant
H2V-2 -- h 1 H2V-4; -+ h2 H2V-6 —. ~. - hv- H = 0,
(2v - I)H2v —l+ (2v - 3)hl H2v-3 —... +- l-1H - h, = o.
On a donc ces deux developpements, a savoir:
I hI hv-I
F(iK-+)= +..-+-'. +~- +h, +It...,
puis
I hi hv-I
F(iK'- - + -- - +* + 4- hv-+..;
i2V-1 - 2V-3 -H
il en resulte que les deux fonctions doublement periodiques de
seconde espece
DX F(x) - [n(it -- i)k2 sn2x +- h] F(x),
etant finies pour x - iK', sont par consequent nulles. Nous avons
ainsi dmontre que l'equation se trouve verifiee en faisanty = F(x),
de sorte que l'expression
y = C F(x)-i- C' F(- x)
en donne l'integrale generale.