Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

la partie de la premiere serie represente par
I h. hi
Y I I2
tousles termes en,-i +2,' " -,-2i2 disparaissent, de sorte que
le resultat ordonne suivant les puissances croissantes de E commence par un terme en —,. On en conclut qu'en supposant n
pair et egal a 2v, ou bien in = av - i, on n'aura aucun terme en-,
si l'on prend dans le premier cas
i hi hv- -i- hv
-- -t —
Y = 2v 2 - - + 'v
et dans le second
I hi h,_i -
2TV-3 h
Y =2v-1 + Pv- - E-* *+. — + h~
Ce point etabli, nous obtenons facilement, comme on va le voir, la
solution generale de l'equation de Lame.
XLV.
Je considere l'element simple des fonctions doublement periodiques de seconde espece, en le prenant sous la forme suivante,
f(x)-e-) = ('-i (x),
ou l'on a, comme au paragraphe V,
O'(cl) i ~;o0
()_ HL(o)H(x-+- ) e (-iK')+
o(ow) (x)
Le residu qui correspond au pole unique x iK' sera ainsi
egal a l'unite, et nous pourrons ecrire
f(iK' - e) = - + Hot- Hi +...+ Hii — 4-....
Cela pose, je dis que les expressions
F(2-'.f(x) _ [2 D~-3f(x)
F(x) _ h, hv —, Dx f(x),
(2V) V r(zv -...)
D2F-2f(2-) V-(2v-f( )
F(x)= r = - -...+ F&_ f(x)
^'-"R^-^C^;-* ----3)