Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

On sait que les racines a, [, y sont necessairement reelles, et
qu'en les rangeant par ordre decroissant de grandeur a sera positive, p positive ou negative, et toutes deux moindres en valeur
absolue que l'unite, tandis que y sera negative et superieure a
l'unite en valeur absolue. Soient done
/k=.k2 -5C y
u = n(t- to),
n —
on aura
Z = a -- (a - ) sn2(t, kc),
to etant une constante et le coefficient n etant pris positivement.
Introduisons maintenant la variable u dans l'equation du second
ordre; elle deviendra
DL(x + iy) = -[3(a- ) sn2 u- 3a - -zc] (x 4- iy)
et, en simplifiant,
D2(x - + iy) = (6k sn2 c- ) (x -- y).
C'est done l'equation de Lame dont nous avons donn6 la solution complete au moyen de deux fonctions doublement periodiques
de seconde espece a multiplicateurs reciproques. Or une seule de
ces fonctions doit figurer dans l'expression de x-+- iy, comme le
montre la formule obtenue tout a l'heure
fz dr z - il dt
x- -iy=e
par consequent, nous pouvons immediatement ecrire
x_+_i - _CD H( u- + ) e- - 7C(w)
x -l- iy = CD,,- -( ())
O(U)
ou, sous une autre forme, en modifiant la constante arbitraire,
o(w)e(u) )
maintenant il nous faut determiner cette constante, ainsi que les
quantites to et X.