Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 377
et l'on en conclut, pour l'integrale de l'equation de Lame,
D2y (6 k2 sn2 -- 6k2 sn2a- 4 - 4k2)y,
l'expression
CD l(x-4- to )- @t') C H(- - t) )eL(0
y z-CDx el J+aD C'D ^-4 Dx 0 -(x )
0(x) 0(x)
Voici les remarques auxquelles elle donne lieu.
XL.
Nous allons supposer nulle ou infinie la quantite X, en nous proposant d'etudier les circonstances qu'offre alors la solution de
l'equation differentielle.
Et d'abord, on voit, par l'expression de )2, que le premier cas
a lieu en posant les conditions
2 k sn2 a - I - Ck = o
2k2 sn2a - I = o,
2 sn2a- = o,
qui donnent successivement snto=o, cnto-o, dnto-o. Les
valeurs de to qui en rsultent, a savoir, to oo - K, to K +- iK',
conduisent aux solu tions considerees par Lame, qui sont des fonctions doublement periodiques de la variable, avec la periodicite
caracteristique de snx, cnx, dnx. Nous avons, en effet, pour o= o
et to = K: y = Dnsnx, y= Dxcnx. II suffit ensuite d'employer
les relations
it7
-— (2 +iK')
H(x 4- K-+ iK') -= l(x) e (K xiK'
0'(K+ iK') i
(K -iK') K'
pour conclure de la valeur to K- iK' l'expression y Dxdnx.
Supposons maintenant ) infini, et soit a cet effet
3k2 snOa - 2(I-1- k2) sn2a 4- I = o;
en designant une solution de cette equation par a- a, je ferai
a=a I., co- iK' s, les quantites -r et E etant infiniment