Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

de ne contenir aucun point a apparence singuliere; elle m'a paru
donner l'indication d'un type special, a distinguer et a caracteriser,
de maniere qu'on ait ses analogues, si je puis dire, pour un ordre
quelconque. Introduisons donc la condition o((u) const. pour
amener la disparition des points a apparence singuliere u= ai,
a2,..., a,,, et posons, a cet effet, les n + r conditions
a -= o, a2 - o,...., = o, go= o.
J'observerai, en premier lieu, que, dans ce type particulier
d'equations, le norbre des arbitraires se trouve reduit a 2n —(n -- i),
c'est-a-dire a n - i. Je remarque ensuite que, les fonctions '(i(u)
ayant toutes les memes multiplicateurs, ces multiplicateurs seront
necessairement l'unite, puisque l'une d'elles, 0O (u), est une constante. C'est dire qu'elles deviennent des fonctions doublement
periodiques de premiere espece, ayant pour pole unique u = o,
avec l'ordre de multiplicite maximum n-+ i. Nous avons, par
consequent, l'expression
4i(u) = a -t b - + D, 2 -4-...-+ h D-1t,
snl U s n2 It sn2 IL
que la consideration suivante va nous permettre encore de simplifier.
Et, d'abord, il resulte des expressions de 0(o(u) elt (D (l), sous
forme de determinants, qu'on a, en general,
l( u ) =- D,, o(u).
La condition Do (u) = const. donne donc
4,1(u) = o,
et l'on voit que l'equation d'ordre n, analogue a celle de Lame, a
la forme
y'-+ - 2(yU)Y^-2-+...-+ (,, (u)y = o.
Je ferai maintenant un nouveau pas en appliquant l'un des
beaux theoremes donnes par M. Fuchs, a savoir que le point singulier effectif u o doit etre, dans le coefficient (Di(u), un pole
dont l'ordre de multiplicite ne depasse pas i, pour que l'integrale
de l'equation differentielle soit une fonction uniforme de la