Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 365
la derivee changeant de signe avec la variable. En meme temps on
voit que le residu de la fonction qui correspond au pole u =
est - n; le residu relatif a l'autre pole a iK' est donc u-, et,
par la decomposition en elements simples, nous obtenons
5'+ i(^- + a) nr o'(u) H'(u — o)
-(T — 8) = ou) + H (u-w)- '
La constante A se determine en supposant u=t o ou = a, ce qui
donne immediatement
in(ay + a) H'(w)
a -8 1t ()
et l'expression cherchee se conclut de la relation
D, log(x + iy) = nD,u log( + iy) = 7 [- ( )| + H( ) ]
0 (a) -4- H (it — w)
au moyen d'une fonction doublement periodique de seconde
espece
) 0(o) H(w - u) eX
x + iy = (xo+ tY iyo)
O(u) H(o)
Dans cette formule, x0 et yo designent les valeurs que prennent
x et y pour it o; elles sont liees par l'equation
3(x2 +y) = 2(a - )
et ne contiennent, par consequent, qu'une seule indeterminee. En
yjoignant ]es constantes z0, So et 8, on a done quatre quantites
arbitraires dans 1'expression generale des coordonnees del'elastique.
A l'egard de 3, nous avons vu que sa valeur doit rester comprise
entre b et c; de la resulte que sn2o, determine par la formule
sn2 = - a pour limites I et k. On peut ecrire par suite
o = K -+- iu, u etant reel, et poser
3 (o)Hl(i - u)eXl
x -+ iy = (Xo + iyo () H(iu)
y=((u) HI(iu)
Changeons i en - i, ce qui change ) en - A; on aura
O(o) Hl((iu 4- ) ex-iy=(Xo-iyo) O(-)H(iu)'