Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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Soit maintenant z' -; nous remplacerons le systeme des equations a integrer par celles-ci,
B(x2+Y) = 2(4_ ),
(xX'-i- yy') =
Xf2 + y2 _ _ 4 i
r (xy'- x'y) = ^ -x
Or l'identite
( x2 +y2) (x'2 +y'2) = (xx' +yy')2 + (xy'- 'y)2
donne en premier lieu
'2 = 2p( - 2) (I - 4) - (T 2 -- +),
et l'on trouve ensuite facilement
x'+- iy' '+ i(^- 4 c().
x+iy 2(- -- 6
ces resultats obtenus, les expressions des coordonnees en fonction
de l'are s'en deduisent comme il suit.
Soient a, b, c les racines de l'equation
9( — 8) ( - 2) (y - (t + )2 = o,
de sorte qu'on ait
_'2 = - 2 ( -- a) ( b -6) (5 - c).
Designons aussi par o0 une des valeurs de ~, qu'on doit, d'apres la
condition x'2 -+y'2 -+ 2 = 1, supposer comprise entre - I et - i.
Le facteur 3 etant positif, comme nous l'avons dit, le polynome
2 j ( - a) ( -- b) (( - c) sera negatif en faisant -= )0. Mais il
prend pour - =-+ et - i les valeurs positives (y + a)2
et (y - )2; par consequent, les racines a, b, c sont reelles, et, si
on les suppose rangees par ordre decroissant de grandeur, a sera
compris entre - i et o0, b entre i0 et - i, et c entre - t et - oo.
Remarquons aussi que, ayant pour z = un resultat positif, il est
necessaire que cette constante 8 soit superieure a a ou comprise
entre b et c. Mais la relation x2 + — y2 - 8) montre que la
seconde hypothese est seule possible, car dans la premiere X2 +y2
serait negatif. Cela pose, puisque r a pour limites a et b, nous