Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

ofi x', y,,x, x y z' designent les derivees par rapport a l'are s
de x, y, z et a-,, y des constantes dont les deux premieres sont
essentiellement positives.
Cela etant, j'observai en premier lieu que, si on les ajoute apres
les avoir multipliees respectivement, d'abord par x', y', z', puis
par x", y", z", on obtient
a( x'2 +- y2 + z;2-) + (x' y - y' ) (Z' = o,
a (x' x"N + y' y" z' z") + (x"y - xy") + I z" = o.
Or la premiere de ces relations donne, par la diffe'entiation,
2aC(x'x" +-y'y" - z'z") -+ (x"y- xy") +- ^z" = o;
nous avons done
x' x".-y- y' y"- 'z — = o,
d'ou
X2 -t-y'2-+- st2 =- const.,
et l'on voit que, en prenant la constante egale a l'unite, on satisfera
a la condition que l'arc s soit, comme on l'a admis, la variable independante.
Cela pose, et apres avoir ecrit les equations precedentes de cette
maniere,
(XY'-t - y ) = ', O7 (y " — x"Y) z= '
j'en deduis
f[(xy'- xy)z"-(xy"-x"y)z'] = az";
mais le premier membre, etant ecrit ainsi,
[(y'z "- y"z')x (z'x"- z"x')y],
se reduit 'a
3[(ax'+ -y)x + - y- (Oay'- x)y] = (xx'-+ yy'),
de sorte que nous avons
3(xx'+- yy') = z",
puis par l'integration, en designant par 8 une constante arbitraire,