Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L EXTENSION DU TIIEOREME DE M. STURM.

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Cela etant, considerons le rapport
A1(4, rT) =__V _ (,l,,h, i, ~,^ )
Ao( 4, T) t x(X — )(y- ) ( )
0 J( - (Xir] -y 2)
= ( l ) ( 0o-.Yr)), 8 (XW, Y~)
pour une valeur de rl voisine d'une racine y,; son signe dependra
du seul terme (X -_()((.ryo)32) -- on, oud'apres ce que
(XW- ( - - y( ) 81 r2 (XW, y
nous avons etabli relativement au numerateur, du seul facteur
(x / — _ ) (- * Or, deux cas sont a distinguer; en premier lieu,
si x, - 0 est positif, ce rapport sera negatif pour une valeur de r
un peu inferieure a y,, et positif pour une valeur un peu superieure; done alors une variation se change en permanence dans le
polynome A([, rn), lorsque -r, atteint et depasse la raciney,. Mais
si nous supposons en second lieu x, -' 0 negatif, c'est evidemment
le contraire qui arrive: c'est une variation qui s'introduit dans
A(Y, '1) lorsque -r franchit la valeur J%. II est facile de conclure
de la la signification de la difference E,,, - V,,B c'est-a-dire des
series du nombre des variations du polynome A(o, o), sur le
nombre des variations de A(o0, in). Considerons x, comme
l'abscisse et yb, comme l'ordonne d'un point rapporte a deux
axes rectangulaires dans un certain plan, de sorte qu'a chaque
solution du systLme de nos equations corresponde un point determine. Cela etant, si nous menons deux paralleles a 1'axe des
abscisses par les points dont les coordonnees seraient
x = 50, X = o0,
y =- o, Y = lni,
les points auxquels correspondent des solutions et qui seront compris dans l'interieur des deux paralleles se partageront en deux
groupes o, selon que leurs abscisses seront plus grandes ou plus
petites que o,. On voit que ceux du premier groupe seront a droite
de l'ordonnee verticale menee par le point (0,, -'o), et les autres a
gauche. Done, lorsque la quantite Y) varie d'une maniere continue
de 7'0 a,, le polynome A(E, Yi) perc autant de variations qu'il
existe de points dans le premier groupe, et en gagne autant qu'il
en existe dans le second. Soient done respectivement JD et 3T' le