Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 353
car on en tire
snb sn(a -- to) - sna sn(b -- o))
= snto sn(b - a) [i - kc sna snb sn(a -- o) sn(b -+- o)],
ce qui donne la formule proposee en changeant a en - a, b en - b
et to en wt + a + b.
Cela posd, soit u-o-4-a 4- b
Cela pose, soit u o - --; faisons aussi, pour abrea - b a - b
ger, ca =, -; nous trouverons, par cette formule,
2
snto[snb sn(b - to) - snasn(a - t)]
= - sn2 sn(u -4- ) sn(u -a)
x [I-k2 sn(a + p) sn(a- ) sn(u+ - ) sn(u- p)].
Or, on voit que le second membre devient ainsi une fonction
rationnelle de sn2 u; on peut, en outre, supprimer au numerateur
et au denominateur le facteur -k2sn2usn2c', de sorte qu'il se
reduit a l'expression
sn 2 3 (i - k2 sn' ) (sn2 u - sn2 cc)
(i - k2sna sn2 ) (i -k2 sn2'u sn2 )
Remarquant encore qu'on a
sn2 (] k2 sn ) =- ' sn p cn dn p,
nous poserons, pour simplifier l'ecriture,
-k2 sn S2 sna cnadna -- snb cn b (dnb C
/c ksn 3cn pdnc 3 4 sn2a -sn-b
et l'equation en snu sera simplement
sn2U - snf2
- k2 sn2 U S-n2 P
On en tire
sn2ca- L c cn2a -- dn2 1 L dn9 x+2 k2 cn2 L
S112 U - enuC 'O dn.uI - ki sn2 'L -cn Ik2 sn2 2 L - k2sn2 L
et, si l'on fait
i = (sn2a - L) (cn2a -+- dn2 p L) (dna2c - /c2 cn2 L) (I - k2 sn2 PL),
ces valeurs donnent
snu cn udn u - i
(I - k2 sn2 P L)2

H. - III.

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