Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

et nous demontrerons immediatement, le premier membre etanL
une fonction doublement periodique, qu'on n'aura, dans le
rectangle des periodes 2K et 2iK', que deux valeurs pour l'inconnue. En effet, la fonction, qui au premier abord parait avoir
les trois poles o iK' - a, iK' - b, - = iK', ne possede
en realite que les deux premiers, le residu relatif au troisieme,
qui est un infini simple, etant nul, comme on le verifie aisement.
Ce point etabli, nous donnerons, pour eviter des longueurs de
calcul, une autre forme a l'equation, en employant l'identite
suivante
sn b sn(b t- o) - sna sn (a +- w)
-sn(b - a)sn(a -b-to) [I-k2 sna nbsn(a -to) sn(b - o)],
a laquelle je m'arrete un moment. Elle est la consequence immediate de la relation memorable obtenue par Jacobi, dans un
article intitule: Formulce novce in theoria transcendentium
ellipticarum fundamentales (Journal de Crelle, t. XV, p. 20,
et Gesammelte Werke, t. I, p. 337), a savoir
E(u)- E(a) — E(b) -E(u -+- a- b)
= k2 sn( u-+b a) sn (u- b sn (a tb) [i - k2 sn u sna sn b sn(u -a- a - b)].
Qu'on change en effet a en- a, puis u en a -- o, on aura
E(a -+ ()- E(a) + E(b)- E(b -+ o)
=k2n snsn(b -a) sn (a + b + w)[ - k2sna snb sn(a+ w) sn(b -+ t)]
et il suffit de rcmarquer que le premier membre, etant la difference des quantites
E(a - to) - E(a) - E(), E(b + to)- E(b) -E(t),
peut etre remplace par
k2 snio[snb sn(b -- t)- sna sn(a- to)].
On y parvient encore d'une autre maniere au moyen de la
relation precedemment demontree
G == -ssnn.a — - 4- k" sna sn o sn(a+ t)
G s= [b s sn ( a-b) ( )
sn b
[asit -s a)7 -4- +k2 sn b sn to sn (-6 + 4) = k2 sn2 - -
sna asnl(b-a) sn\-(a-6b)