Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRIES DE CIARLES HERMITIE.

simultanees differentes de la solution
x = X1, y=yi.
Comme cela est tres facile a verifier, nous ne nous y arreterons
pas, et nous arrivons de suite a la demonstration de notre theoreme. Precedemment nous avons obtenu l'equation
Ao(, n)=(Xl —) (yl —rn)(x ---) (y2 —n)...(x,,2 —)(y,,2 —)(2,
A I
et de la valeur trouvee pour A- resulte aussi
Ao
in2
x, ( ~, -~ ) ~];~7( x,,.,. ~, n)
A0(,. r) -- (, x - ) (yto -) 82A2(xo, yo)'
le numerateur 3 (xt, y,,, ^ ) designant ce que devient l'expression
] Q qs (5x,yO) lorsqu'on substitue aux quations proposees leurs
transformees en x + i ety +- r. Or, il est evident que la fonction
S correspondante a deux solutions simultanees reelles ne changera
jamais de signe pour aucune valeur des quantites E et ^i. Ces preliminaires poses, nous allons, en premier lieu, rechercher comment
se modifie le nombre des variations du polynome
A(), ~ )= Ao(, )- - A ( ) +...+ (- I_)m 72
lorsqu'on y fait croitre T' d'une maniere continue de o a 'rm,, la
quantite E restant constante et egale a une valeur determinee o0. Et,
d'abord, les coefficients de deux puissances consecutives de X ne
pourront jamais s'evanouir en meme temps, et si un coefficient
s'annule, le precedent et le suivant seront de signes contraires.
C'est, comme nous l'avons deja dit, une consequence du theoreme
de Descartes et de ce que l'equation A(, ^i)- o a toujours toutes
ses racines reelles.
Ainsi des changements dans le nombre des variations ne pourront survenir qu'autant que ce sera le dernier terme qui viendra a
s'annuler. Mais, d'apres l'expression de ce dernier terme, les valeurs
de Yi qui peuvent l'annuler sont uniquement les racines y du systeme des equations proposees, qui sont comprises entre les limites
^ 0 et,.