Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

348 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
plir a son egard le role d'element simple. On voit aussi que les
poles de () (u) sont u -= a, u = b, c - o, les deux premiers representant des infinis simples et le troisieme un infini triple. Nous
aurons done
4(u) = A f(u- a) -- f(u- b) -+t lf(tu) - -' f'(u) +~ " f"(u),
et la condition ( (u) = o entraine ces cinq equations
— o, 3-o, =- o C o, "= o,,
qu'il est aise de former, comme on va voir.
Nous avons pour cela a decomposer en elements simples les
produits de f(u) et f (u) par deux quantites de la meme forme
snp
s sn-p ), c'est-a-dire a chercher les parties principales des
snu sn (u -p)
developpements de ces produits, d'abord suivant les puissances de
u, puis, en posant ie-p -, suivant les puissances de s. Or il
resulte de l'expression def(u) qu'on a
f(u) = 7(iK'+ - ) e>l),
X(u) designant la fonction consideree au paragraphe V, page 277,
et par consequent
i,+- k2' -
f( u) = | - - (k2 sn2 ~ 3 i) ]
I -
-- + _- (2 sn2 + ) u +-...- — + — /i -Sf o-+- ~it-+-.....
U 2 3
On trouve ensuite
snp r cnpdnp /f 1+- )2
sn u sn( u -p) u Snp snp 2p 3
et sans nouveau calcul, en remplacant u par -,
snp I cnpdnp i -+ 2
snl(p -- ) sn~ s snp -sn2p 3
Ces developpements nous donnent les formules
sf (u) - f (p)f(t-p)- - f( i) — f (i),
s snfsf7( u )7 f (p)f( - p ) - -- - ' 1 + i
sn u sn(u - p) s2) f )
cnp dnp I
snp o