Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 347
Telles sont done, exprimees au moyen de la nouvelle indeterminee C, les valeurs tres simples des constantes A et B pour
lesquelles, d'apres les principes de M. Fuchs, l'integrale complete
de l'equation
sna sn b
[snu sn(u-a) snusn(u-b)
A sna Bsnb
-4- - -4-C -- -- y= o
snusn(u-a) sn usn(u —b) +sn2(a-b)
est une fonction uniforme de la variable avec le seul pole u- o.
Nous sommes assures de plus, par une proposition generale de
M. Picard (Comptes rendus du 21 juillet I879, p. i4o, et du
19 janvier 1880, p. 128), que cette integrale s'exprime d6s lors par
deux fonctions periodiques de seconde espece. Si donc on restitue,
en faisant la substitution y- ze011, une constante arbitraire dont il
a ete dispose pour simplifier les calculs, il est certain que la nouvelle equation differentielle contiendra, comme cas particuliers,
toutes celles dont il a ete precedemment question. C'est, en effet,
ce que je ferai bientot voir; mais je veux auparavant obtenir une
confirmation de l'important theoreme du jeune geometre en effectuant directement l'integration de cette equation et donner ainsi,
avant d'aborder des cas plus generaux, un nouvel exemple du procede deja employe pour l'equation de Lame dans le cas le plus
simple de n. = i.
XXX.
Considerons la fonction doublement periodique de seconde
esp6ce la plus generale, admettant pour seul pole ut= o, a savoir
f (u)H(o)o(u-+- o ) l
) (w(o) H(u)
et proposons-nous de determiner w et 'A de telle sorte qu'elle soit
une solution de l'equation proposee. Soit, a cet effet, F(u) le
resultal de la substitution de f(t) dans son premier membre. Les
coefficients de l'equation ayant pour periodes 2K et 2iK', on voit
que cette quantite est une fonction de seconde espece, ayant les
memes multiplicateurs.que f(u), qui pourra, par consequent, rem