Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 345
pour que l'integrale complete de l'equation consideree soit une
fonction uniforme de la variable. I1 n'est pas inutile, a l'egard de
ces conditions, de remarquer qu'elles se conservent, comme on le
verifie aisement, dans les transformees auxquelles conduit la substitution y - e-a", a savoir
Z"- [ 2 + t(ut )] z'+ [Oa2 4- a f(It) +- ( It)] Z = o.
J'observe encore qu'on peut supposer doublement periodiques les
fonctions f(u) et g(u), en convenant que les quantites u =o,
u =a, u=-b,..., au lieu de representer tous leurs poles, designeront seulement ceux de ces poles qui sont a l'interieur du rectangle des periodes. Soit donc, en nous placant dans ce cas,./'(,) =,
g(u)=
ou bien, d'apres la remarque qui vient d'etre faite,
f(ut) =2 - +-
_ 1' Q1
g(u) = a"2+ cc - -,
c etant une constante arbitraire. Je disposerai de cette constante
de sorte qu'on ait
H'(u -a) H'(u -- b) H'( u) '(a) O'(b)
iJU() H (i -a) H- (t- b) ~ H (it) O (a) - (b)
et par consequent, d'apres les formules connues,
sna S snb
sn u sn(u -- a) s sn u n -b)
Cela etant, il est clair qu'on peut ecrire, avec trois indeterminees,
A, B, C,
A sna B sn b
sn u sn(i - a) snu sn( u -b)