Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

344 OEUVRES DE CHARLES HERMAITE.
un point singulier. Ce sont les veritables elements qu'il convient
d'employer comme appropries a la formation de l'equation difterentielle, au lieu des constantes ca,,, q qui entrent dans les
fonctions A eL B. Je me fonderai, a cet effet, sur le lemme suivant,
qui donnera, par un calcal facile, la determination des coefficients P, Q,....
Considerons l'equation diff6rentielle
/"- f( u)y'+ g( u)y =o,
ou les fonctions uniformes f(u), g(u) admettent seulement des
infinis simples qui soient, d'une part, u = o et de l'autre u a,
b, c,.... Posons d'abord, en developpant suivant les puissances
croissantes de s,
9 G
f(~) =-e + F+..., '() —...,
et en second lieu, pour les diverses quantites a, b, c,....
f( a+-}) f+-4-/a-G..., g(a r) -= +- g —...
Si l'on a, d'autre part,
F -+ G o,
puis, pour toutes les quantites a, b, c,....
ga= ga (fa — ga),
l'integrale de L'equation proposee sera une fonction uniforme ayant
pour seul point singulier u- = o, et, dans le domaine de ce point,
les integrales nommees fondamentales par M. Fuchs seront de la
forme?, (u) et-+ 2p (u), oit i (u) et c2 (u) representent des
series qui procedent suivant les puissances ascendantes entieres et
positives de la variable.
XXIX.
Ce sont ces belles et importantes decouvertes de M. Fuchs dans
la theorie generale des equations diff6rentielles lineaires qui permettent ainsi d'obtenir les conditions necessaires et suffisantes