Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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XXVIII.
Soient U et U1 deux fonctions doublement periodiques de
seconde espece ayant chacune un pole unique u o, et representees par les formules
H(uC — + )eP'L U H((u ) eqt
H(u) - H'(u)
je me propose de former en general l'equation du second ordre,
admettant pour integrale l'expression
T = CU + C'U1,
qui est
T U U1
T' U' U' = r"- 'r+ e o,
II' U" u'1
en posant
= UU - UlU, /I U'U' - U U'.
Nommons pour un moment. et a' les multiples de A, v et v'
ceux de B; on voit d'abord que les coefficients 1 et ( sont des
fonctions de seconde espece aux multiplicateurs,uv et pI'', ayant
de meme pour seal pole u = o, qui est un infini double pour 1l et
un infini triple pour at. L'equation i1 = o n'admet ainsi a l'interieur du rectangle des periodes que deux racines, u - a et u = b,
et, en decomposant en elements simples les fonctions de premiere
espece, - et on aura les expressions suivantes,
' H'(u - a) H'( - b) H'(u)
_- - A2 A - A-,
7 ~ H(u — a) I (u —b) H (u)
PII'(u -a) QH'(u-b) RH'(u)
= H(u-a) H ( - b) - H(u) +
ou P, Q,... sont des constantes assujetties a la condition
P+Q+- R==o.
Les quantites a et b, que nous venons d'introduire, representent
donc, a l'egard de l'dquation differentielle, des points que
M. Weierstrass nomme a apparence singuliere, u - o etant seul