Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

336

OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Cela etant, si nous changeons successivement s en 2 + s, 1 - 3 - s,
on obtiendra, en ecrivant, pour abreger, Ds, au lieu de qs(u) et es
pour )+Dalog0,_,(a), ces trois groupes de deux equations, a
savoir
U UI4S =-=s P+s -D.,2+S,
I U142+s-S= 2+SeSs - DlePs,
U2i-s = Ss l-s - Dl -s,
U2(I1-S = I1-s Ds -Du Os)
U3 -s = Es 43-s - Du 3-s,
U2 3-S = 3-s CPs - D( Its,
L'elimination successive des quantites (D+s, (D,_-s, 3-s donne
ensuite
(I) D1 s- (Es+ ~2+s+ D^ logU1)Dps+ (s2+s4-+ 2+sDt, logU — U2 ) s-o,
(II) D2:s —(ES+Si_-s+Du.logU2)D,,e4s+ (,Si-Ss +E-sD,,logU2-U2 )s-= o,
(III) D,s- - (s+ 3-s - Du logU3)D,4Fs+- (s,3-s + E 3-sD, logU3- U )4s= 0.
Nous avons donc trois equations du second ordre dont une solution particuliere est la fonction si (u); voici comment on parvient
a les integrer completement.
Faisons successivement dans (I), (II) et (III)
- (-s+)E,+)
Psz= Xi e2
Cs = X2 e2
- (E,+t3-,)
(Ds= X3 e2
on aura pour transformees
D Xi - Du log U1 DXI - (8 + 81 D, log U1 + U2 )XI = o,
D X2- D, log U DUX2- (82 -+2 DU logU2+ U )X2= o,
DX 3-D, logU3D, X3- (68+ 83 D,,logU U3 U )X3 o,
en posant, pour abreger l'ecriture,
81= 2 (Se- 2+5) 2 -2 s= 2( (Se- = s - 3 —s )
Je remarque maintenant que ces equations ne changent pas si,
en remplacant dans la premiere, la deuxieme et la troisieme, s
par 2 -+- S, - S et 3 - s, on ecrit dans totrtes en meme temps - u