Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 327
C'est cette disposition qu'il convient de garder, et semblablement
iy ial i8 i8
nous designerons les constantes nn —, par s pour s =o, i,
2, 3; cela etant, nous pouvons comprendre, dans ces trois seules
equations, le systeme de nos douze relations:
ik cn u Zs = s Z2+s - DI Z2-+s
(I) k snuZs= Esl-s- D, Z-s,
i dn uZs= S Z3-s- Du Z3-s.
Le resultat relatif aux quantites Xs ne differe de celui-ci qu'en
ce que ik cn u, ksn u, idn u se trouvent remplaces respectivement
iEa i iy i S
par idnu, ikcnu, ksnu; en designant n- i - - par ns pour
n n ~n
S= o,., 2, 3, nous aurons, en cffet,
i cn it Xs -= 7s X3-s D, XX3 -s
(II) k sn uXs = SX2+s- D X2+s,
i dnitXssX= 'sX1- D-D Xi-s
Avant d'aller plus loin, je crois devoir montrer comment ces deux
systemes d'equations se ramenent l'un a l'autre, par un changement tres simple de la variable et des constantes.
Je me fonderai, a cet effet, sur les formules de la transformation
du premier ordre
c ( ik'\ /. i/k' ( iku /. ik' cn u
cn (ciku, AY = -- sn iku, / = --, dn ik, -- d
\' ~ ki ] dna \i t\ k dia it dn u
en les ecrivant de la maniere suivante, ou j'ai fait, pour abreger,
ik'
k' cn(ikut, I) = - dn(zt -K q+- 2iK'),
I sn(iku, l) = 4- cn(t-K- 2 iK'),
dn( icu, I) = - sn(u - K - iiK').
Changeons, en effet, ut en u - K + 2iK', et designons par Z' ce
que devient ainsi Z; les equations (I) donneront celles-ci
ikl sn (iku, l)Z'= EZ -D ZDIZ+,
-c dn(iti, )Z= ssZ's —DZls,
-ik' cn(ik, /)Z}= SsZ:_s- D Z'_s,
- ik' c ( iku, l) z' = Es Z'_s -- DI, Z' -_.