Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

3i8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
devient le carre d'une fonction uniforme si l'on a
A2 /2 -+- B2- C2 k'2- o A'2 k2 -t B'2 _ C'2 k'2 = o.
A cet effet, j'observe que les formules
2 s n i u dn u
snCzu — '
cn2u =z -
i /C- sn4 it
it - ak sn2 au -- k2 sn4 U
dn 2 ct --
i -- 2 sn4 u
permettent d'ecrire
A cn2u -2 + B sn 2u t-+ C dn it
A -- C - 2(A -+ Ck2) snu +-i- (A --- C)/2 snit -+- 2B sni cn u dn u
i - k/ sn4 u
Cela etant, soit, en designant par g et h deux constantes,
A - C - 2(A -+ C/k2) sn2 u- +(A -+ C)k2 snoit
4- 2 sn it en u dn u = (g sn ut -+ h cn u dn I)2,
on verra que les quatre equations resultant de l'identification se
reduisent aux trois suivantes
A -- C = h2, 2(A+ - Ck2) = h2(i k2) g2, B = gh;
or l'elimination de g et h conduit imnmediatement a la condition
A2 k'2 -- B2 - C2 k'2 - 0
Soit de meme ensuite
(g snu it h cn u dn Iu)2
A' cn 2 4- B' sn 2 -- C' dn 2 U sn C- cn d-n t — t )
i - kC2 sn; ul
sous la condition semblable
A'2 k'2 -+ B'2 - C'I2 = o;
nous en conclurons, pour V1 (2 u), l'expression suivante
V/n (. (g sn u i- h cn u dn u) (g' sn u - h' cn u dn u)
I ( k2 sn4 it
ou, en developpant,
/ g' s1n2 U --- hh'[ -( -i- k2) sn2 it u-A- 2 sn14 ] - (gh'/- h ') snit en it dnut
1- /2 sn U a