Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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rotation par rapport aux axes fixes, les formules
x =(a p +b q - c r')p = p,
y= (a'p + b' q - c' r)p = v' p,
z = (a"p - - b"q + c"r) p = p,
dont la derniere est simplement z = 7o. Or, l'erpoloide etant la
trace de cet axe mobile sur le plan tangent a l'ellipsoide central,
z=8, on voit qu'il suffit de faire p = pour obtenir les coordonnees de cette courbe, exprimees en fonction du temps, ou de
la variable u. Nous avons ainsi x = v, y== '; mais ce sont plut6t
les quantites x - iy et x - iy qu'il convient de considerer, et je
poserai en consequence
LI'(o) 01( tt - (o) ei(+Xu+v)
x -i- y =- = = (u),
H H01 ( u t) e-iX ( u+t v
x — i' = I+n ) =,v-(,),
H,(w)E) 0(u)
ce qui permettra d'employer les conditions caracteristiques
(> (u-t-2K) = =CEc (u), 4) (u-t+2iK') =- J.' (u),,1(u -+ a2K) = -,t (u), i( t- t2iK') = - 4i(u),
ou j'ai fait
- e2iKIt p.'e e K
Elles montrent, en effet, que les produits 4(u)'D, (u),
D,,4(u)DuD,(u), et en general DO(u)D',1 (u), quels que
soient n et n, sont des fonctions doublement periodiques, ayant
2K et 2iK' pour periodes. En particulier, nous envisagerons l'expression
D, I( tt) D,,1 ( u ) - x' y'2,
puis les coefficients de i dans les suivantes
D, 4 (U) p() = xx' + yy' + i( xy' - yx' ),
D2 a4 (u ) D,, 1 (u) = x'x" + y'y"- i(tx'y"-y'x"),
ces fonctions doublement periodiques donnant, par les formules
connues, les elements de l'arc, du secteur et le rayon de courbure.
J'emploierai, pour les obtenir, la formule de decomposition en