Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 307
+ etant la longitude d'un des axes de la section. Soient \/a, \a
V/a ]es demi-axes de l'ellipsoide (le troisieme est celui qui ne se
couche jamais sur le plan invariable); xI, x,, x3 les coordonnees
du pole; ),, )2, )3 (3 = o, 1,, )2 sont les demi-axes carres de la
section) les racines de l'equation.2.2 2
/ \ x2 x~
() - -- - - - -1= 0.
l — a2 — a3-
On aura
2 _ (a, -- ),)(a2-,.),(a3 —))_?znq?' / dS d,'\
lnr~ ~~ (X,-~X)(,,- - - cPdt - - Xs' X,-s q- m,
(r, s, s' etant trois nombres de la serie i, 2, 3). Comme, )2 = const. - c2, on a n3 = const. C'est, en effet, la distance du
centre O au plan fixe de contact; de meme mn,, m9 sont les distances
de O des plans tangents aux surfaces (Q,) et (),). Au moyen de
ces valeurs, les equations (i), qui reviennent en substance aux
equations d'Euler, donnent t et + en fonction de x )\, q- A2. En
posant t== nt (n expression connue), on obtient
() dlog snti d dg snitz)- [( iI ) (, i )]
(2) ^^^(./L.dt~ ~ ct,2 [n(. i)+n( i)],
u3) d IdrlogH(ia) dlogH(i) I ei — ( )-ia) (U- iT)
(3) + = -- -+- 4 — log
v / < ~ 2 L dj d 4- i o(U ia) ) o(U -- it)
et l'on prendra le signe superieur ou inferieur, suivant que m2 >
ou < CaLe module est
/ /7a3(a2-,) (C2-a l a2 )
' (a/ a2- a3) (c2 — aa3)
et et t sont ainsi donnes
F d T G dp
/i - k'2 sin' Jc? VI - k'2 sin2 y
/ F c4 ~ 3a, a
cos ( =G )-c\COS Yj =3 ~ca v - a2
F etant un angle aigu negatif ou positif, suivant que nzm < a et G
un angle positif, qui sera < ou > Trc, suivant que la zone entouree
par la poloide comprendra deux ombilics ou aucun: c'est, en effet,