Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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coefficients a, b, c,.... En premier lieu, nous en deduisons
Aa (" — C to) ei(u-+) -v)
Aa" q- Bb"- -C c": -- N
cn t) 0 (()
[- cn usn(u - to) n- sn i cn(u - 0) -sn dn u].
Or on a
cnu sn(u - t) - dn w sn u cn(zt - t) -- sn to dn u = o,
cette equation etant l'une des relations fondamentales pour 'addition des arguments [JACOBI, OEuC'res completes, t. II, p. 325,
equation (i6)], et nous obtenons ainsi
aa"-+-bb"-, cc"=o, a'a"- +b'b" — c' c" =o.
Je remarque ensuite que la somme des carres A2 + B2 + C2 s'evanouit comme contenant en facteur sn2 (u - t) cn' ( - ) W-,
et nous en concluons
a2+ b2+ C2= '2 -b'2 -j '2, aa'-+ bb' + cc' = o.
Ayant d'ailleurs
cn c en / cn to
a,2 a.4 b"2,+ C". /_cna \ dnto snau )2 (snt odn ua)
- - sn2 t (i- k2 sn2 0) sn2 It (I - k2 sn2 u) sn2 _
cn2 W cn2 o cn2W
les six relations que nous avons en vue serontcompletementverifiees
des que N sera determine de maniere a obtenir a2 -t- b2 + c2 = i ( ).
(') Les equations
iA= Bc"-Cb", iB= Ca"- Ac", iC= Ab"- Ba",
dont la premi6re a ete employee precedemment, page 294, et qui contiennent les
suivantes;
a = b'c"- c'b", b = c'a"-a'c", c = a'b"-b'a",
a' = b"c-c"b, b' = c"a - a"c, c'= a"b- b"a,
se verifient aussi de la mani6re la plus facile. Les relations auxquelles elles
conduisent, a savoir:
cn t = cn ucn (u - 3t) + dntosn u sn (u - to),
cnu = cntocn(u - t)- dnusnusn(u- to),
dntosn u = cn osn (u - t) -- sn odna cn (u - o),
figurent, en effet, dans le Tableau donne par Jacobi sous les n~' 9, 10 et 11.