Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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nous aurons
~ == ~s ~ E, sE = ssE, Es = E ';
ainsi, en faisant, avec Jacobi, s =-i, '=+ I, on voit qu'il
faudra prendre S" = - i dans le premier cas et la valeur contraire
= - i dans le second. Cela pose, et en convenant toujours que
les racines carrees soient positives, je dis qu'on peut determiner
un argument o par les deux conditions
cn o_/ = -, dn =/
d'ou6 nous tirons
dn_ /Y -3
cno — / Y —;
ces quantites satisfont en effet a la relation
dn12 _ - k/2 cn2 o =- k2,
comme on le veritie aisement. Je remarque, en outre, que cnto et
dnto etant des fonctions paires, on peut encore a volonte disposer
du signe de to. Or, ayant S-10 -- nous fixerons ce signe de
CrI2 (O y -a ~o
maniere que, suivantles conditions (1) ou(II), sn toqui est ne fonction impaire, soit egal a + / -- ou a - — a- Nous eviterons,
en definissant la constante to comme on vient de le faire, les doubles signes qui figurent dans les relations de Jacobi; ainsi, a l'egard
de a", b', c", on aura, dans tous les cas, les formules suivantes, ou
je fais pour abreger ut = n (t - to):
cn it dn'o) sn c s_ o dn
clln cnw cn o
Enfin il est facile de voir que w t iu, u etant reel; de la formule
cn(icj, /.) =, ---- on conclut, en effet, cn(u, k') -= / -
valeur qui est dans les deux cas non seulement reelle, mais
moindre que l'unite.