Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 985
De la resulte, pour l'integrale definie, ]'expression suivante,
ir7
2 K 2 -- ( ni - K')
2 r i e KT
F (x — )d -— FK((+2i~K')x= X( —niK)
1 -- ( t o+'9_ni l) si*n K (to - 'zniK')
et l'on voit qu'en posant l'equation
i 7, ln (.r -~-.T')
H' (o) )e (xo +- x 4- to) _ i i(H(wo) O(xo+ x) N Ae K
on en deduit immediatement la determination de A,,. Noous avons,
en effet,
AK A,, f2F(x~+x) dx,
eKAn= F(-),
et, par consequent,
2K
Alt -I
sin I ( o + A i 2iK')
La constante xo que j'ai introduite pour plus de generalite, et
aussi pour eviter qu'un pl6e de F (x) se trouve sur le contour
d'integration, peut maintenant sans difficulte etre supposee nulle.
Nous parvenons ainsi a une premiere formule de developpement
2K I'(o) (x+) to) e i
7 C H ((O) ((x) j -
( ) (x) sin -( (to 2 niK')
dont les trois autres resultent, comme on va le voir. Qu'on change,.
en effet, o en to + iK', on en conclura d'abord
i r n.x
2 K H'(o) H(x +- to) - - e K
___ 0(co)~(________ 2K ___-_ ~'__-____
~e K2
sin t [4 (2 t + ) iK']
puis en nultipliant les deux inembres par l'exponentielle, et posant
nz - 2/ + 1
i ': in.V
2K H'(o)H(x -+ ) - e 2K
7 0o (to) s(x)K. )
sin (Ct + m/iK')
2>K