Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTtNSION DU THEOREME DE AI. STURM. 17
leurs valeurs en fonction lineaire de Z,, Z...; valeurs que nous
avons plus haut representees ainsi:
z,= AlZI-+- AZ2 -- AlZ3-+- A Z4,
- 2,
Z.)_ A2Z1+AA2 A2Z3+ A 2,
Z3 = AZ Zl + A3 Z -+- A3 Z3 - A]3 Z4,
z,= At Zi ALZ2-+- A4Z3+ A Z4.
La relation obtenue existera identiquement quelles que soient
les quantites Z,, Z.,..., et, si l'on compare en particulier les
coefficients des carres dans les deux membres, on trouvera de suite
la formule a laquelle nous voulions arriver, savoir:
A, t+ A2 + A3. + =, _()+ + / (Xy)(+ Q2 (X.r ) + 8 A1
A3+A4-^ - xyf A(x, y) AO
le signe, se rapportant aux divers couples de solutions x,, Y4,
X2,y2,..
VII. Arretons-nous un instant, avant d'aller plus loin, sur une
consequence remarquable des calculs precedents. Rapprochant
des equations (9) les equations (I4) qui en donnent la resolution,
nous voyons que les premieres sont satisfaites en annulant C., ~3,
4 et faisant
1i = Z, Xl = Z2, yI, = Z3, xflyl r = Z4;
donc, dans ces hypotheses, il en sera de meme des secondes. Or,
il suit de la qu'en posant
0n(X, ) = - (X, y) + xl Q2(x, y) +yi, Q3(x, y) + xlyl,
on aura a fois;2(x2, Y2) o, (X3, y3) = 0, Q(x4, y) = O
et
Q(xi, yi) = A(xi, yi).
On voit done que l'quation Q(x,y) o admet toutes les solutions des equations F(x, y)- o, (b(x,y) o, sauf une seule.
Les coefficients de cette equation dependent d'ailleurs rationnellement de ceux des equations proposees et de la solution ecartee
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