Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Mais c'est une autre consequence que j'ai en vue, et qu'on obtient
en mettant la premiere, par exemple, sous la forme
4I(x) = py -y',
e (x — a b)- b)
oil F(x) designe le premier membre, y la fonction ( a-,Cp.a constante H'(a), H'(b)
et p la constante H ( + H (b)
'H(a) +H(b)
Si nous multiplions par e-PX, elle devient, en effet,
do(x) e-lx=- - Dx(y e-x),
(1' 0 ui.f (x) e-lx dx =- y e-Px.
Ce resultat appelle l'attention sur un cas particulier des fonctions p(x), o0, par suite d'une certaine determination de ), elles
ne renferment plus qu'un parametre. On voit qu'en posant
H'(o) O(x -4- a) - H —(x
Q(x, a) = ( e, H(a
tJ.'H(a)e0(x)
(e qui entralne, pour le multiplicateur t', la valeur
i7ta 1H'(a
-- 2 iK'
' -e K 11~tt)
I'integrale f c(x, a) (x, b) dx s'obtient sous la forme finie explicite. Un calcul facile conduit en effet a la relation
H'(a -i-) I I 11( - ) K
x,a) (x, b) dx- (x, a -+- b) eL sI1 (a)) (b)
Faisons, en second lieu,
H'(o) H(x -+ a) - -(.)'
ZI(x, a) e (a)
V/,'0o(a)o(x)
en designant alors par,u' la quantite
- _ 2i zK'll= e lv O(aH),
et nous aurons semblablement
[H'(a-+ b) '( a) '(b)
X(x, a) X(x, b) dx = —?(, cx a e b) H(rt+a) e0() 0(b)