Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR QUELQUES APPLICATIONS DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

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Elles montrent qu'en posant
= -- + b +...-t-,
puis, comme precedemment,
j. = e2),Ki
u'= e
on aura
F (x 2 K) = u. F(x), F1(x - I) = (- ). F (x),
F(x - 2iK') '= ' F(x), F(x -1- iK') = I' F (x).
I1 en resulte que, quand n est pair, la fonction
H'(o) H(x - o) e))x
J(x) =
H(wo) 1H(x)
ayant ces quantites uJ et u.' pour multiplicateurs, peut servir d'element simple pour nos deux expressions; mais il n'en est plus de
meme relativement a la seconde F, (x), dans le cas ot n est impair:
on voit aisement qu'il faut prendre alors pour element simple la
fonction
'(o) O(X --- ( )) e),x
(wx)) 0 (}x)
afin de changer le signe du premier multiplicateur, le residu correspondant a x =o etant d'ailleurs egal at l'unite. Cela pose, comme
F(x) et F, (x) ne deviennent infinies que pour x= -iK, ce sont
les quantitesf(x- iK') etf/ (x- iK') qui figurerontdans notre
formule. I1 convient de leur attribuer une designation particuliere,
et nous rupresenterons dorenavant la premiere par?(x) et la
seconde par y(x), en observant que les relations
_ ix (t +i K')
(x + iK') = i H(x) e 4'* k
itc
H(x + iK')= i O(x)e c;
donnent facilement, apres y avoir cliange x en - x, ces valeurs:
H'(o) e (x -+ to) ex.
X..' II(-o) ) O(x)
(x) IIH'(o) H(x -+ (_) ex)
'i ew) o() ()

H. - III.

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