Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

NOTE SUR UNE FORMULE DE JACOBI. 265
Or le coefficient de x'11- dans le premier membre a pour valeur
n(n - ( — (n 2)... (2n- -);
et comme on a
cos n(arc cosx) = 2n-7x-1t+...
cette constante se trouve determinee par la condition
n(7 4 )( - )... (n —l) = 2n-N;
d'ou l'on tire
N n(n -- i)(n -+- )... (,n —I) _.2.3...(2n-I). s71"-' Ln-l 22-.a3* *(n-I)
ou encore
-- r.2.3...(zn —I) =i.
N = -- - =. 3. 1.3.5. ( n - ).
2.4.6...(2n - 2)
La formule de Jacobi que nous avions en vue d'etablir est une
consequence immediate de ce resultat; car en mettant la relation
obtenue sous la forme suivante
1
n - -
dn(i - X2) 2 cosn(arc cosx)
dx - (-) N 2
d arc cosx
= (- I)"L- N cosn(arc cosx) d ac
dx
on en conclut, en integrant par rapport a x,
n-l(-[- x2)n-2 ( i),-I N.
-d1-1-(- - =- X ---2N sin n(arc cosx).
dxt-1 i n
Nous n'ajoutons point de constante, attendu que les deux
membres s'evanouissent quand on suppose x i; cela etant, il
suffit, comme on voit, de changer n en n + i, pour arriver au
theoreme propose, la valeur de la constante C etant
1.3.5...(2n +- I)
C =2 -n -1-
Paris, aoit I873.