Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

26$

OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

consequent,
+....F(x) - /x- I Fl(x),
et, enfin,
F( )} F() - -7= +.. F, (x) -i,+- +
Vx2-i VX2-1 \X x/i
La condition posee, comme definition des reduites, se trouve
ainsi completement remplie. Or, on peut encore la realiser d'une
autre maniere, comme on va voir. Formons la derivee d'ordre n de
' expression
n —
(X2 1) 2;
P
il est aise de voir d'abord qu'elle sera de la forme 2 P etant
un polynome entier en x de degre n. Soit ensuite, en developpant
suivant les puissances decroissantes de la variable
n —
X '3
je remarquerai qu'en prenant la derivee d'ordre n, la partie entiere du second membre conduira a un polynome P, de degre
n - 1, tandis que la partie contenant les puissances negatives de la
variable donnera une serie infinie commencant par un terme
enl
Nous trouvons done encore la relation
P a' a"
^- _ = P' + x, — + x,+ ---W +'"
VX2 - I'nII Xt4 -qui determine, sauf un facteur commun constant, comme nous
l'avons dit, les polynomes entiers qui y entrent. On en conclul,
en designant par N une constante numerique,
P = N cosn(arc cosx),
et, par consequent,
n —
df (x2 — ) 2 N cos n(arc cos x)
dxt v~x2I