Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

NOTE SUR UNE FORMULE DE JACOBI. 263
decroissantes de la variable, manque des termes en-,.,;
x
cela fait, le numerateur F, (x) est donne par la partie entiere du
meme produit, qui est evidemment du degre n - i. On voit, en
effet, qu'ayant ainsi la relation
f(x) F(x) = Fi(x) + + 2+,
et, par consequent,
/( Z ) = F, (x) (I +1 + x9tt+ +***)'
A F(x) F(x) i - x1^
les developpements suivant les puissances decroissantes de la fonction f(x) et de la fraction rationnelle 1(x) coincideront jusqu'au
F (x)
I I
terme en L,, le developpement de F() commencant par un
X2-1-I ~F(x)
terme en -,. De plus, les polynomes F(x) et F, (x), sauf un facteur constant commun, seront determines d'une maniere unique.
Cela pose, soit, en parliculier,
I I I I i.3 I
7(7) = ^i — - -- - - -r -q t — ~.;
2 ) X 2, X3 2.4 X5
il sera aise, dans ce cas, de former F(x) et F (x) pour toute valeur
de n. Soit, pour cela,
(X- /'" I)'= F(x) -- \x — i FI(x).
c'est-a-dire
F(x) = cosn(aic cosx),
Fl(x) = sin n(arc cosx);
je dis que ces polynomes entiers de degres n et n - i donnent
precisemeiit les deux termes des reduites. On a, en effet,
X - x2- - x - -...;
x
d'o u
(ea- X _ -TI)s = -- +t-...;
l'equation proposee, si l'on y change le signe du radical, donne, par