Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

REDUCTION D'INTEGRALES ABELIENNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. 257
Je ne chercherai pas ici a la rapprocher des expressions donnees
par M. Weierstrass, et qui sont l'une des plus belles decouvertes
de l'illustre geometre; je me bornerai a remarquer qu'il est facile
d'en conclure la reduction aux fonctions elliptiques des integrales
plus generales
rf(X) dX rf(Y)dY
J X) J R(Y
Effectivement, toute fonction rationnelle f(x) s'exprime lineairement, d'une part, au moyen des quantites -, de leurs derivees
par rapport a g et de l'autre par les puissances entieres de la
variable. Or, on obtiendra ces dernieres integrales qui appartiennent a la categorie des fonctions de premiere et de seconde
espece, en egalant dans les deux membres les coefficients de leurs
developpements suivant les puissances decroissantes de h. C'est le
calcul que je vais faire afin de parvenir aux valeurs des fonctions
inverses de nos integrales abeliennes, exprimees par des fonctions
algebriques de sinus d'amplitude.
III.
Considerons d'abord ]e terme
F (g) R(g)
log
(g.)- -R.g)
que j'ecrirai ainsi
log I -- d (g) | lo[ (g) -
Nous avons dit precedemment que F(g) est du troisieme degre
en g, et, comme R(g) est du cinquieme, on voit qu'elle s'evanouit
pour g infini. Passons ensuite aux integrales
(h, k) dx f A(h, ) dy
J(x- h) (x, k) J (y- ) A(y, )'
c g, nt ca
la formule h ( c - + bg)- donnant h - pour g infini,
(H. -III. I7ag
H. - IL. 17