Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

REDUCTION D'INTEGRALES ABELIENNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. 253
en prenant pour X et Y des fonctions algebriques de deux variables independantes x et y, et pour j(X) et f/(Y) les nmmees
fonctions rationnelles de X et Y. On y parvient en considerant
I'equation
F2(z)- R() = o,
ou F(z) est un polynome de troisieme degre en z, determine de
telle maniere qu'elle admette comme facteur, d'une part le polynome du second degre,(z) = x(l + az) (i - b z) - c2,
avec la condition (A),
z _ ^., (i-v az)2(I bz)2
V/R(z)= A((x, /') b2;
c(i -- Vib az)
et, en second lieu, le facteur semblable
41(z) = y(i -- az) ( -+- bz) —c2z,
et avec la condition (B),
VR(z) = (y, 1) (tI -+ az)2(1 zt )2
c(i -+l - \/abz)
Nous allons voir, en effet, que ]es quantites X et Y seront les
racines de l'equation du second degre en z, representee par le
quotient entier
F2(z)- R(z)
4I,(Z) s (Z)
1I.
Je ferai usage, a cet effet, du theoreme d'Abel, en supposant la
fonction rationnellef(x) reduite simplement a ---, ou g est une
x -g
constante indeterminee, et j'en deduirai la relation suivante..Soient z = x0, z x, les racines de l'equation
X(I-+- az) (I -i- bz) - C2z = 0;
puis x = yo, = y, celles de l'equation semblable
y( -l- az) (- i- bz)- c2z =o;