Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LE DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 243
et de la resulte, comme vous allez voir, une forme canonique pour
ces deux nouveaux polynomes.
Je cherche en premier lieu l'expression la plus generale des
polynomes entiers S(x), de degre mn en x'. tels qu'on ait
(2) (I-X "tC ( -- - X ) 2"' -(),
et je ferai d'abord cette remarcue que, si?(x) est suppose s'annuler avec la variable, il contient le facteur X2(i -- x2)'. Soit L cet
effet, dans l'equation (2), x- o; on en conclut que (x) s'annule
pour x = I et admet par suite le facteur x' ( - x2), puisqu'il ne
renferme que des puissances paires de la variable. Or, en posant? (X) = X92(1 —x2) "(X),
l'equation (i) donne
X )
cc (:ui montre immediatement que (x) sdevanouit pour x = 1.
J'ajoute qu'en faisant
i(x) = (I- 2) y(X)
ou bien?(x) = x -(I - ))2 ( 7),
on obtiendra a l'egard de / (x)
(I 4 X )211t-8 7 ( -- ) - y (X),
(v + x),, x. + v
c'est-i-dire les equations caracteristiques du polynome propose?(x), en y changeant mn en z - 4.
Une seconde remarque va maintenant en donner l'expression
generale. Soit pour un moment?l(x) =-n (c) - A(I 4- xt2),
A etant une constante arbitraire; on voit immediatement qu'on