Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LE DEVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.?4
quelles conduit la transformation du second ordre, en partant des
relations
I + ^x- I 4x
---.+ _
/ -4- Z. I - ^z sin am( ix z'). /. i
sill am (- ix siXn a(m ix'x x,
I- ' I iz
( I -4- ' Ti
sin am rZ' x-z\ sinan(x, z) inam tizx -
2lil '- +-,,/ \\' x /
z -- i^Z I i,sin am/Y. iz' x(z~' - sin am(x, z) sin anm(ix, -z')
sin am ( --- ',-r i Z'
auxquelles je joindrai encore celle-ci
I_ (I-+ cos amx) (i -A amx)
x sin2 am x '
sin2 am2
j'en deduis les diverses consequences suivantes.
Soit d'abord, pour abreger l'ecriture,
' '= (- i), n(z'), n" =( —,),,y-,1. ([^X(' ),
puis
iio (- -, I),, (I 4 x)2,, n (+
2=~ (z-+ ix')",/l2n I( x -/i
112- T ^'" + ix );
on aura en premier lieu
Iio = 2m —I (I' -- 1"),
II, = 22- ( ' + ),
I1 1= 22t11-1( H + 11' )
et il est aise de voir que l'Nne quelconque de ces equations sufiit
pour determiner sauf un facteur constant les coefficients du polynome I (x).
Je remarquerai ensuite que ((x) se conclut immediatement
de n(x); on a, en effet,
=,( (2 n_ - I) 22'1-2 t. - II. i6