Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR L'EXTENSION DU THEOREME DE M. STURM.

I3

Le denominateur commun des valeurs des inconnues z sera A0,
et si ces valeurs sont representees par les formules
= Al Zi -+ A+ Z2 -+ A Z3 + AI Z4,
2 -- A * Zi - A2 Z2 + A2 Z3 + A4 Z4,
Z3= A3 Z- Ai3 2 - A|Z3- A3Z4,
S3-A31 Z + A2 2 3 4
z4 = A4 Z 4- Al Z2 - A3 Z3 +- A4 Z4,
on aurait, comme precedemment,
A,
=-(A -+ A22 + A3 i A 4).
Or, en introduisant quatre inconnues auxiliaires 1,2, '3, 3 A,
nous pourrons remplacer les equations (8) par les suivanLes:
-r+ 24- 3 -+- 4 4= Zi,
(9) 23
\ XJyl r — X2Y29 2 -4- X3Y3 3 -- X4Y4 54 = Z2,
et
l = x1lyI,(zi — Xi Z2-s yJ Z3 x ly Z4),.2 = X2y2 (Z1 + X2Z q- Y2 3 4-2Y2 Z ),
(IO)
3 = X3y3 ( Z1 + X3 z2 4- Y3 Z3- 3y3 Z4),
t4~ = X4Y4 (Z X44Z2 + Y4 Z3 X 4XY4 Z4),
Done Ao, qui est le determinant relatif aux equations (8) aura
pourvaleur le produit des determinants propres aux deux systemes
(9) et (io), ce qui donnera tres facilement l'egalite suivante
SI1 S21 S12 S22
S21 S31 S22 S32
S12 S22 S13 S23
S22 S32 S23 S33
I I I I 2
X1 X2 X3 X4
xlX2x3x4yly2y3y4 Y.
Y1 Y2 Y3 Y ]
Xlyl X2y2 X3y3 X4y;
Cela pose, representons par A(x,y) la determinante fonctionnelle relative aux premiers membres de nos deux equations du
second degre, F (x,y) = o, D(x, y) = o, c'est-a-dire l'expression