Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR UN THEOREME D'EISENSTEIN.
Proceedings of the London Mlathematical Society, t. VII, p. t73-r75.
Read april i3 th, 1876.
M. Heine en donnant ]a demonstration du theorime celebre
d'Eisenstein, sur les developpements en serie des racines des
equations algebriques, f(y, x)= o, dans le Jourlnal de Crelle
(t. 48, p. 267), y a ajoult cette remarque extremnement importante, qu'on peut ramener les coefficients supposes commensurabies d'un tel developpement, a etre tols entiers, sauf le premier,
par le changement de x en kx (4). C'est une simplification de la
inethode employee par l'eminent geometre, que je me propose
d'indiquer en peu de mots. Considerons d'abord l'ensemble des
divers developpements ordonnes suivant les puissances entieres et
positives de la variable, qu'on peut tirer de l'equation proposee.
J'observerai avec M. Heine, que si deux ou plusieurs d'entre eux,
commencant par les memes termes, ont la partie commune
a -i b -+ - cx2 —...-i- kxp,
la transformee
F(z, x) =o,
obtenue en posant
y = a -+- bx +- cx2 -.-.- xP -i- zxP+1,
(1) Note added by the permission of Ai. Hermite. - This remark had already
been made by Eisenslein himself: His Words are, Encllich kaan statt x iminer
ein, solches Vielfache von x gesetzt owerdcen, dass alle Coeficienten der Reihe
in ganze Zahleen uebergehen ( See Eisenstein's note in the Moonatsberichte of the
Berlin Academy for July, I852, p. 4.'I; or the extract fronl it an earlier paper of
N1. H-eine's in Crelles Journal, vol. XLV, p. 285). H.-J.-S. Smith.