Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

'30 OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.
Or, on trouve l'dgardcl du nouveau polynome y(x) les relations
D2(1- X) =;9 (X),
x2/-3s -) --- C2(X)
t t
qui donnent pour x =
2(i() = o et.,(o) =o;
done, comme tout a l'heure, c?.(x) admet le facteur x(i - x), par
oiF l'on voit qu'on doit faire
C,, (x) = [x;(i - )]2 3, (x),
d'ot risultera
p3(I- X) = Cp3(X),
X-2m-6 03 - = ( 3 (X).
Ainsi ^:,(x) est un polynome de nmeme nature que c(x), mais
du degre - 6, de sorte que, en raisonnant sur le nouveau
polynome comme sur le precedent, on arrivera de proche en
proche a l'expression cherchee
o(x) = A(x2 - x 4- I)'4- B(x2 -x. 1)i)L-3 (x2_- )2
-- C ( x -,X )I.- 6 (X. - X )
- -...........................
-4- L (X2 X -x -l)/"-31'((X2 - X)21),
p designant l'entier contenu dans m et 1'on en conclut, en faisant x - k2,
q',~(k&) = 2"A(I- L 13k2A2-)") kk- B( 2 3k!k'
-,C (i - k /2 k '2);-6 l/ k/ 8 -i-. -8- L( I - k 2 k2.2 )m-32, k k,. '
Cette forme, canonique si je puis dire, des coefficients du developpenent de - suivant les puissances croissantes de la variable,
contienldra au plus, sous forme homognene, deux coefficients inconnus, jusqu'aux limites -. 0o et n - 3, suivant que n est
pair ou impair. Et si ] on ecrit pour abreger
4,, ().= SH H(I- - /k' 2)1-3/(/i k'4. )21/,