Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LES DEVELOPPElMsENTS DE F(x) = lsnX cnlx dncx.

2.9

On est amene a rechercher l'expression la plus generale des polynomes entiers?(x) de degrer satisfaisant aux conditions
xl)?(- ) =? f(x),
\x I X)
(I.- X) = ( —1) C(X).
Supposons d'abord n impair; en faisant x - - dans ces deux ega2
lites et x = — i dans la premiere seulement, on en conclura
(=) 0, - p(2) = o, ((-I) = 0,
par ou l'on voit que p(x) contient le facteur
(X + I)('-x-i)(X — ).
Soi t donc, pour un moment,
(.X) - (x +-t) (2x - I) ( - 2) -(x);
le polynome' de degre pair (x) sera reciproque et verifiera la
condition
(i - X) '= (),
car le prodiit (x -+ i) (2x — I) ( - 2) change de signe quand
on y remplace x par - x. Le cas de n impair est ainsi ramene
a celui de n pair que je vais considerer en posant n =- 2i2. J'observe a cel effet que, en posant
CP( ) =?(x) — A(x2 -- x -- i)',
oLi A est une constante arbitraire, on aura encore
(l -( ) = i(X).
Cela pose, d6terminons A de maniere que p,(x) admette la
racine x o; la condition
1 (I -x) = i(X)
fait voir qu'on introduira en meme temps la racine x = i, de sorte
qu'on peut ihire:I ( x ) = x ( — x)? (x).