Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LES DEVELOPPEMENTS DE F(x) = snax cnx dncx. 223
et les conditions
f(z + aK) = f(z), f(z - 2iK')= f(z)
donnent sur le champ
S — o.
Ce principe pose, je distingue a l'egard de F(x), d'apres les relations
F( -+ 2K) = (-I)a+b F(x), F(x +a iK') - (- T)+c F(x)
quatre cas differents, suivant que la periodicitc etant celle de snx,
cnx, dnx, sn2x, on aura
F(x a-2K) = —F(x),
F(x -+ viK') = — - F(x),
F(x- 2K) =-F(x),
F (x ) + 2 iK') = — F(x,
(ZIII) F(x- - K) =+- F(x),
F(x -2iK') =-F(x),
(t) I(V F(x + 2K) = 4F(x),
(F(x- 2 iK) =+ F(x),
et j'en ferai successivement l'application aux fonctions
F(z) F (z) F(z) F(z)
sn(x -z)' cn(x-z) dn(x-z)' sn'(x —z)
Considerant d'abord le premier cas, j'observe que toutes les
valeurs de z qui rendent le numerateur infini et le denominateur
nul sont
z = iK' -- 2 K - 2 niK', z = -x -+ a mK - 2 ni K',
m et n etant des nombres entiers. On a donc, a l'interieur du
rectangle ABCD, qu'a considerer deux quantites qui peuvent etre
ramenees a z iK', z x, pour en deduire les residus correspondants, c'est-h-dire les coefficients de- dans les developpements suivant les puissances ascendantes de s, de F(iK'+- ),
F(x +- ). Soit, a cet effet, en ecrivant les seuls termes qui con