Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FONCTION DE JACOB BERNOULLI. 219
ment vers zero si m est inferieur en valeur absolue a l'unite, et
l'on obtiendra
+00 - 4-00
JI 4(x)dx — f '(X 4 ib) dx- =f-Ti lenc,
d'oa
-- so TSinztc
I_ (x + ib) dx = -- 2 it eliT sin m e
oo__ sin/t sinm 7
et par consequent
e+o eLx dx it ei"/t2 —
_J ex+ib-+ I- sin i 7
Mais on peut poser: b = 2i - h, h etant compris entre - x et
+- T, et nous trouvons ainsi
+0 e" dx d eitmh
oo ex- -ih- i sin m I
Soit, en second lieu,
( emz - eZz
les constantes m et n etant moindres que l'unitte de sorte que
(I (ix +- a)et (I (ix - a) soient nulles pour a infini. En supposant
b =, la fonction proposee restera finie a l'interieur du rectangle
et l'on aura S = o, d'ou, par consequent,
4+ 00 — +0o
f E(x)dx= f m( + i'.) dx.
00 -- o00
Mais nous avons
e" ix enx
ex( i) = ex-+- I
et de cette expression resulte immediatement la valeur connue
-+o e/lx -_ elnx ein ei/lit
J_ _. —?dx = s - = (cotnt - cot m).
ex — sinnz n sinr/it
J'arrive maintenant a mon objet en appliquant les resultats qui
precedent a la determination des integrales,
+co emz sinh dz t+0 (emn - e-mnz)(I - cosh) dz
J_ e-z -- 2 et z (ez ) ( ez - e-Z- cos h)
00 +- e-cc ) ( io d