Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

SUR LA FONCTION DE JACOB BERNOULLI. 217
Mais c'est leur expression sous forme d'integrales definies qu'il
importe surtout d'obtenir, et voici comment j'y suis parvenu:
Soit f(ex) une fonction rationnelle quelconque de ex, et
(x) =x elexf(ex).
-oo
Je ferai usage de la valeur de lintegralef Fb(x)dx, qui se determine facilement comme volus allez voir. Ayant pose d'abord
A Al A a
f()= n() +- z — ( z...)2
z - at (z - a )a (z -- ay)-+!
B B, B
~ -4- -4 -z - b (z - b)': (z - b)f+
en reunissant dans la quantite II (z), la partie entiere ainsi que les
fractions en -,,' s'il en existe, je remarque que l'expression
[ A. A 1 _ _ 1A
1n-x ____ _L ____ —. _... )~+
ex- a (ex -a)2 (ex- a)X1|
peut se mettre sous cette nouvelle forme
emx e,, x e mx
2~ - 4 — ~lD xe xa iD.-+-' -( +...l D _
\ex- a e - a ( e - a
Nous aurons en consequence
( nZx \ einx elinx
(elix / e mx \ ( _pemx
\\ex b)ex b X. kex- b
--..................................................
et cette decomposition entierement analogue a celle des fractions
rationnelles en fractions simples, ramenera I'integrale J( (x) dx
a la transcendante fj I. e, et l'integrale definie proposee h la
quantite j e d — Avant d'en chercher la valeur, je remarque
que la constante a doit etre supposee negative quand elle est reelle;
on est amene par la a poser: a - eg+in, avec la condition que
h soit compris entre les limites - - et +-,ic sans atteindre ces