Œuvres de Charles Hermite publiées sous les auspices de l'Académie des sciences, par Émile Picard.

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OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

entre les limites x o, x =, est immediatement mise en evidence
dans 1'expression de M/. Raabe. Effectivement, l'integrale
+x 1L2 In du
f_ e_-t- e —1- 2 COS2TX
est une quantite essentiellement positive pour toutes les valeurs
dex, de sorte qu'entre les limites considerees, lB"(x) aura le signe
du facteur (- jI)n+ sin2Tcx, et ne s'annulera que pour x=..
C'est ce qui m'a engage a en rechercher une demonstration directe
et en meme temps a obtenir une expression analogue pour le polynome B' (x), qui mettrait aussi en evidence sa propriete caracteristique, d'etre toujours de meme signe de x = o a x = i.
J'emploierai dans ce but, la forme suivante que prend la fonction
e- -,- en changeant ), en 2 i); si l'on pose
sinX -i- sin(2x -1)
TvX) = u sin'
p(x) =
cCOSX-cos(2.x-i)X
2 sin
on trouve, en effet,
e2i)x -I
eix_ = () +i (x),
et il en resulte que B"(x) et B'(x) peuvent etre definis comme les
rr. I)I)L(2h)2m i(_I),, (2X)21,,+,
coefficients de ( — t"(2) et de (2) dans les deveI.2...'2 m I.2.. 2 /t +- I
loppements de (.x) et 4 (x) suivant les puissances croissantes
de ),. La consideration de ces fonctions suffit deja pour demontrer plusieurs des theoremes de Raabe, au moyen de ces relations
entierement elementaires, a savoir:
y(I — X) I- 9(X), (i- ) - q)=(X),
7/ — Ix I si nx -i)?(x)+ (X+ n)+ @...+(X - - -n +
2 sin -
n
cos; cos(2nx -T) -
n -1\ n cosA
(X)+ +~ +...+(+ -x+ = —
' ' '\ n '\ n 2 sinx.
2 sin -
n